Uncinetto iperbolico: finalmente una chiara spiegazione della geometria iperbolica

Quando mi capita di trovare sul web un post interessante, ben fatto, chiaro, stimolante, utile, insomma un articolo degno della prima pagina su google, lo condivido e lo pubblicizzo con molto piacere. Se poi questo post viene da un blog altrettanto valido meglio ancora! 🙂

E’ quello che voglio fare oggi, incollando uno stralcio dell’unico post veramente chiaro che ho letto sulla geometria iperbolica, quella da cui nasce la tecnica che amo/amiamo tanto 🙂 dell’uncinetto iperbolico.

Il post di cui vi parlo è stato postato nel meraviglioso blog di Crochet Circus e lo potete leggere per intero cliccando qui. La parte che copio e incollo qui sotto è la descrizione della geometria iperbolica, descrizione che l’autrice del blog ha fatto in modo superlativo, io non avrei saputo fare di meglio, perciò complimenti!!!

______________

“[…] premessa sulla geometria iperbolica

Definiamo, intanto il concetto di curvatura nulla, positiva o negativa di una superficie.

(Ci viene in aiuto il Prof. Lazzarini che nel suo utilissimo blog ci dà spiegazioni molto intuitive, che qui sotto riporto per intero).

L’idea è quella di “schiacciare” la superfice sul piano. Quando cerchiamo di “appiattire” una superficie curva si danno tre possibilità:

Riusciamo ad appiattire la superfice, senza operare lacerazioni o sovrapposizioni. Diremo in questo caso che la superfice ha curvatura nulla (cioè in tutti punti della superficie la curvatura è nulla). Ad esempio qualsiasi regione di superfice cilindrica può essere resa perfettamente piatta ed ha quindi curvatura zero. Riflettete sul fatto che una superfice cilindrica può ottenersi arrotolando un foglio di carta. Può dispiacere ma le cose stanno proprio così: esistono delle superfici che siamo abituati a considerare curve ma che, tecnicamente, vanno considerate prive di curvatura.

Non riusciano ad appiattire la superfice, perchè dovremmo operare delle lacerazioni. E’ quello che accade, ad esempio, con una regione di superficie sferica; possiamo pensare, affidandoci all’intuizione, che in questo caso ci sia “meno superficie” di quanto ne serva per essere appiattita. In questo caso diremo che la superficie ha curvatura positiva.

Nella fotografia seguente vedete un pallone che è stato tagliato a metà, lungo una circonferenza massima. Provate ad appiattirlo: non ci riuscirete.

L’unico modo è quello di operare dei tagli radiali come vedete nella fotografia seguente (maggiore è il numero dei tagli, maggiore sarà l’aderenza al piano).

Come vedete tra un taglio e l’altro della superficie si vengono a creare degli spazi che corrispondono a superficie mancante.

Non riusciano ad appiattire la superfice, perchè dovremmo operare delle sovrapposizioni. E’ quello che accade, ad esempio, con una regione di superficie a forma di sella; possiamo pensare, affidandoci di nuovo all’intuizione, che in questo caso ci sia “più superficie” di quanta possa stare nel piano. In questo caso diremo che la superficie ha curvatura negativa.

Nella fotografia seguente vedete una superficie a sella.

Potete ottenerla facilmente procedendo in questo modo. Disegnate su un foglio di carta un cerchio e un settore circolare con lo stesso raggio del cerchio e un’ampiezza, diciamo, di 60 gradi (vedi figura seguente). Ritagliate il cerchio e il settore. Tagliate il cerchio lungo un suo raggio in modo che presenti una fessura. Inserite nella fessura il settore e fissatelo ai bordi della fessura con del nastro adesivo trasparente. Naturalmente questa operazione di inserimento non è possibile se si rimane nel piano (stiamo pretendendo di inserire altri 60 gradi in un angolo giro); ma potremo farlo se lascieremo flettere la superficie nella terza dimensione. Otterrete così una superficie a sella (è opportuno applicare del nastro anche sull’altra faccia della superficie). La realizzazione di questo modello è molto istruttiva: vi siete resi conto che una sella invade “più superficie” di quanta possa stare nel piano.

Ora provate ad appiattire la vostra sella sul piano, ad esempio appoggiandoci sopra un libro: vi renderete conto che si formano delle pieghe, delle sovrapposizioni, come vedete nella fotografia seguente.

Rieman nel 1854 dà questa definizione: “La Geometria Iperbolica può essere considerata la geometria intrinseca di una superficie con curvatura costantemente negativa che si estende indefinitamente in tutte le direzioni”. Su questo assunto si basa tutta la ricerca dei matematici che negli anni si sono dedicati a trovare la superficie iperbolica completa. Infatti, mentre è possibile trovare in natura esempi di superfici costantemente negative.

Tali superfici, purtroppo, non hanno la caratteristica di estendersi all’infinito. I matematici per molto tempo, dunque, asserirono, che non era possibile ottenere nello spazio a tre dimensioni euclideo, una superficie completa di un piano iperbolico (una superficie con curvatura costante negativa estesa all’infinito).

Nel 1954 Kuiper (un matematico tedesco) ipotizzò che una tale superficie potesse esistere, ma non spiegò come la si potesse costruire. Fu William Thurston nel 1970 ad avere l’idea di utilizzare strisce di carta (definite “anuli”) per descrivere un piano iperbolico nello spazio tridimensionale.

Taimina, nel suo libro spiega come realizzare il modello di carta con gli “anuli” , come descritto nella foto sopra.

Dal modello in carta Daina fu ispirata per realizzare il suo modello ad uncinetto; studiando gli anuli di carta, infatti, ella capì che, lavorando in modo da aumentare il numero di maglie in modo costante da una riga all’altra, e seguendo una definita proporzionalità, si otteneva un piano iperbolico sotto forma di modello ad uncinetto.

Il concetto è semplice e rivoluzionario al tempo stesso, perchè attraverso l’uso di una tecnica casalinga e alla portata di tutti, come l’uncinetto, si riesce a realizzare un modello tridimensionale che era stato considerato dagli studiosi irrealizzabile.”

Fonte: Crochet Circus

______________

E allora?

Che ne pensate?

Ora si che si capisce cos’è la geometria iperbolica!

Grazie ancora a Crochet Circus!!!

Annunci

6 thoughts on “Uncinetto iperbolico: finalmente una chiara spiegazione della geometria iperbolica

  1. Cara, grazie per i complimenti. Ho provato a rendere accessibile un concetto che sembra molto difficile, ma che, riportato al concreto, invece, è assai comprensibile e molto molto affascinante…..

  2. Tecnica straordinaria e anche divertente! Io ho anche avuto l’onore di intervistare la prof. Taimina, una grande persona (http://www.casaeidee.it/2012/08/28/luncinetto-iperbolico-per-tutti-intervista-daina-taimina/). Per una sintesi, anche per non addetti ai lavori: http://www.casaeidee.it/2012/08/24/luncinetto-iperbolico-per-tutti/.
    Con questa tecnica si può fare di tutto (ho provato e mi è piaciuto molto…ho anche fatto delle decorazioni per l’albero di Natale, visto che ormai siamo in clima pre-natalizio), cambiando i filati e i punti…. 🙂

  3. Questo e’ il blog giusto per tutti coloro che vogliono capire qualcosa su questo argomento. Trovo quasi difficile discutere con te (cosa che io in realta’ vorrei… haha). Avete sicuramente dato nuova vita a un tema di cui si e’ parlato per anni. Grandi cose, semplicemente fantastico!

Che ne pensi?

Inserisci i tuoi dati qui sotto o clicca su un'icona per effettuare l'accesso:

Logo WordPress.com

Stai commentando usando il tuo account WordPress.com. Chiudi sessione / Modifica )

Foto Twitter

Stai commentando usando il tuo account Twitter. Chiudi sessione / Modifica )

Foto di Facebook

Stai commentando usando il tuo account Facebook. Chiudi sessione / Modifica )

Google+ photo

Stai commentando usando il tuo account Google+. Chiudi sessione / Modifica )

Connessione a %s...